Пети клас 2019/2020

5.3. Подът е покрит с квадратни плочки. Хлебарката Х се разходила по линиите между
плочките. Тя се върнала там, откъдето тръгнала, завивайки 20 пъти наляво, при това без да
попада два пъти в една точка (освен в началото и края на разходката). Общо колко пъти Х може
да е завивала надясно?
Решение:
Ясно е, че маршрутът на хлебарката е някакъв многоъгълник М, всеки две съседни страни на
който са взаимно перпендикулярни.
Да си представим, че първоначално Х е обиколила М, тръгвайки от вътрешна точка А за страна
на М. Ако М беше правоъгълник, то Х е завила само 4 пъти наляво или само 4 пъти надясно,
като накрая е запазила първоначалната си посока на движение. Значи разликата между левите
и десните завои на Х е 4. Сега да видим какво става, когато Х направи някаква „чупка“ в
маршрута си с две последователни завивания, тръгвайки от и оставайки във вътрешна точка
за страна на М. Ако завиванията са противоположни (ляво-дясно или дясно- ляво), то Х е
запазила посоката на движението си. Ако завиванията са по един и същи начин, да речем ляво-
ляво, то Х е променила посоката на движението си на противоположната. За да си възстанови
посоката, в този случай Х трябва да направи две последователни завивания дясно-дясно. Това
означава, че Х запазва посоката на движение когато прави точно толкова леви завивания,
колкото десни. Понеже М се получава от правоъгълника, в който е опакован, чрез някакви
„чупки“ в маршрута, то когато Х си запазва посоката в началото и в края на разходката,
първоначалната разлика между броя завивания се запазва. (2 т.)
Така, когато А не е връх на М, десните завивания на Х са били или 16 или 24. (1 т.)
Свалено от Klasirane.com
В случая, когато А е връх на М, разсъждаваме така. Нека Х да се премести първоначално малко
напред, за да попадне във вътрешна точка за страна на М. Това ще компенсираме, като след
пристигането в А, Х направи допълнителен завой, за да си запази първоначалната посока. Сега,
премахвайки този завой, разликата между десните и левите завивания се променя или на 3,
или на 5, което дава още 4 възможности за десните завивания: 15, 17, 23 и 25. (2 т.)
На чертежа са показани примерни начални положения, при които се реализират съответните
случаи. Например, за Х25: движение по часовниковата стрелка, началото и края са в ляв завой,
първият и последният завой на Х са десни; за Х17 движение срещу часовниковата стрелка,
началото и края са в десен завой, първият завой е ляв, последният е десен и т.н. (2 т.)
Отговори без обосновка – до 3 точки.