Математически турнири - 10

Според мен отговорите на някои от задачите, които ми се сториха по интересни са:

17. (A) 9 (НОД (56, 98) = 14, 56=4х14, 98=7х14. Най-големите квадрати, на които може да се раздели правоъгълник с размери 65 х 98 са с размери 14 х 14. Нужни са 3 линии за да се разделят на 4 части страните с размер 56 и 6 линии за да се разделят на 7 части страните с размер 98).

19. (C) 14 cm (Правилото, което трябва да се следва е че при всеки ход правоъгълникът трябва да се сгъва по по-дългата от двете му страни. Тогава: 8 х 12 – 8 х 6 (след 1-во сгъване) – 4 х 6 (след 2-ро) – 4 х 3 (след 3-то). Pmin = 2.(4+3)=14).

20. (Е) 198 (Имаме два варианта. Вариант I: числата са 26, 28, 30, 32, 34, 36 и двойките числа на срещуположните стени на куба са 26-36, 28-34, 30-32. Вариант II: числата са 28, 30, 32, 34, 36, 38 и двойките числа на срещуположните стени на куба са 28-38, 30-36, 32-34. Вариант I е невъзможен защото на рисунката 28 и 34 са на съседни стени. Следователно в сила е вариант II и тогава сумата на числата върху стените на куба е: 28+30+32+34+36+38=198).

21. A) 23 (А9B + C87 = D0E2, откъдето B = 5, Е = 8, A + C = 9, D = 1; A + B + C + D + E = 5 + 8 + 9 + 1 = 23).

22. (B) 20 (PUTSRUQ: 4 + 4 + 3 + 2 + 3 + 4 = 20).

23. (A) 4 (За да се дели едно число на 8 трябва числото образувано от последните му 3 цифри да се дели на 8 и следователно числото трябва да е четно т.е. в случая трябва да завършва на 2 или 6. Цифрите са написани върху карти т.е. всяка цифра може да се ползва само по веднъж. Има 6 комбинации от 3 цифри, които завършват на 2 – 352, 362, 532, 562, 632, 652 и 6 комбинации от 3 цифри, които завършват на 6 – 236, 256, 326, 356, 526, 536. С директна проверка се установява, че 4 от горепосочените числа се делят на 8 – 352=8х44, 632=8х79, 256=8х32, 536-8х67. Когато са използвани три от картите за четвъртата цифра има само една възможност. Следователно числата образувани от картите с цифри 2, 3, 5 и 6, които се делят на 8 са: 2536; 3256; 5632; 6352.)

24. (C) 210 (Червените плочки са наредени във форма на правоъгълник с размери 14 х 15. Решение: Нека червените плочки са наредени във формата на правоъгълник с размери p x q, тогава сините плочки по периметъра са p + q + p + q + 4 (четирите сини плочки по ъглите), тогава p + q + p + q + 4 = 62 или p + q = 29. Следователно Max (p . q) = 14.15 = 210, при зададен периметър правоъгълникът с най-голямо лице е този с най-малка разлика на страните. Например ако p > q и положим p = 15 + t и q = 14 – t, където t = 0, 1, 2, … 13, то p . q = 210 – t(t+1) и следователно Max (p . q) = 210 при t = 0).

25. (B) 16 (Най-просто е да се начертаят всички възможни форми, но тук не могат да се нарисуват. Брой различни отсечки свързващи 4-те точки = (4 . 3 . 2) / (3 . 2 .1) = 6, брой комбинации с 6 отсечки = (6 . 5 . 4) / (3 . 2 . 1) = 20, от тези 20 комбинации трябва да изключим 4 комбинации във форма на триъгълник, които включват само по 3 точки, следователно общият брой букви е 20 – 4 = 16).

26. 336 (Щом числото се дели едновременно на 6 и на 7, то трябва да се дели на тяхното НОК = 42. Установява се с директна проверка: 42х1=42; 42х2=84; 42х3=126; 42х4=168; 42х5=210;42х6=252; 42х7=294; 42х8=336).

27. 89 (10A + B = A + B.B откъдето 9А = B(B-1). Следователно 9/B или 9/(В-1), защото B и В-1 дават различен остатък при деление на 9, откъдето В=9 или В=1. В=1 е невъзможно защото тогава А=0. Следователно В=9 и А=8. АВ=89).

28. 206 (Нека числата са: Х, Х+1, Х+2 и Х+3. Тогава Х + Х + 1 + Х + 2 = Х + 3 + 100, откъдето Х = 50. Тогава Х + Х + 1 + Х + 2 + Х + 3 = 50 + 51 + 52 + 53 = 206).

29. 997 (Забелязваме, че 44.43=1892, 45.44=1980, 46.45=2070. Без да се впускаме в по-сложни доказателства е ясно, че Пол е на 45 години, а съпругата му е на 44 години. Сумата от годините на децата е 2011-1980=31, откъдето следва, че едното е на 16, а другото е на 15 години. Преди 13 години формулата е била: (45-13).(44-13) + (16-13) + (15-13) = 32.31+3+2 = 997).

30. 69 (За изписване на цифрите на числата от 1 до 80 Джо е използвал следния брой цифри: „0” – 8 цифри (10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80); „1” – 18 цифри (1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19, 21, 31, 41, 51, 61, 71); „2” – 18 цифри; „3” – 18 цифри; „4” – 18 цифри; „5” – 18 цифри; „6” – 18 цифри; „7” – 18 цифри; „8” – 9 цифри (8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 80); „9” – 8 цифри. За изписване на цифрите на числата от 65 до 144 на Джо му трябват следния брой цифри: „0” – 18 цифри (70, 80, 90, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 120, 130, 140); „1” – 63 цифри (71, 81, 91, 100:109 – 11 цифри, 110:119 – 21 цифри, 120:129 – 11 цифри, 130:131 – 11 цифри, 140:144 – 6 цифри);  „2” – 18 цифри; „3” – 18 цифри; „4” – 13 цифри (74, 84, 94, 104, 114, 124, 134, 140, 141, 142, 143, 144); „5” – 8 цифри; „6” – 13 цифри; „7” – 18 цифри; „8” – 18 цифри; „9” – 18 цифри. Нуждата от допълнителни цифри е: „0” – има 8 / трябват 18, необходими са 10 цифри допълнително; „1” – има 18 / трябват 63, необходими са 45 допълнително; „2” - има 18 / трябват 18, не са необходими допълнително; „3” - има 18 / трябват 18, не са необходими допълнително; „4” - има 18 / трябват 13, не са необходими допълнително; „5” - има 18 / трябват 8, не са необходими допълнително; „7” - има 18 / трябват 18, не са необходими допълнително; „8” - има 9 / трябват 18, необходими са 9 допълнително; „6” и „9” ОБЩО - има 26=18+8 / трябват 31=13+18, необходими са 5 допълнително. На Джо му трябват: 10 х „0” + 45 х „1” + 5 х „6”/”9” + 9 х „8” или общо 69 нови цифри).

За задача 23 - ние сме я отчели като грешна, но съм пропуснала да отбележа във файла, съгласна за отговор А на задача 23. А 30 задача е много готина, интересно колко деца са имали време да стигнат до нея и да я решат!?

Според мен си изпуснала нулите в числата от 101 до 109. Т.е. трябват му общо 10 нули

Да, между 101 и 109 са изпуснати. Оправих ги. Крайния резултат би трябвало да е 69.

Замислих се дали няма по-просто решение на 30-та задача, без да е необходимо хамалско броене, при което има голяма вероятност нещо да се обърка.

Има доста просто решение ако числата от 1 до 144 се запишат в таблица с размери 10 реда х 34 колони. Ако числото е двуцифрено цифрите му се записват в един ред, но в две съседни колони, а ако е трицифрено цифрите се записват в един ред, но в три съседни колони.

В първата колона най-горното квадратче остава празно, а в останалите 9 квадратчета записваме отгоре надолу числата от 1 до 9. Във втората и третата колона, като започваме от най-горния ред записваме отгоре надолу числата от 10 до 19 и продължаваме докато напишем всички числа до 144. В долния десен ъгъл остава празен правоъгълник с размери 3 х 5.

В таблицата има два вида колони - колони от еднакви цифри или колони с цифрите от 0 до 9 (или части от тях).

Първо зачеркваме цифрите на общите числа от 65 до 80. Цифрите отляво на зачеркнатите са цифрите, които имаме, а отдясно на зачеркнатите са цифрите, които ни трябват. След това започваме да зачеркваме едновременно от ляво и от дясно еднаквите колони (или части от тях) дотогава, докато това е възможно.

Останалите отдясно цифри са тези, които ни трябват.

И аз се опитвам да намеря някакво елегантно решение за 30 задача (все не ми остава време), а не хамалогията, предполагаща грешки.

Момичета може ли да ми помогнете с една задачка за 3-ти клас:
Теди измислила ново действие: a*b = a : b + (a - b). Стойността на израза (8*2)*2 е:

Тези задачки се решават със заместване като се започне от най-вътрешната скоба.

a*b = a : b + (a - b).

8*2=8:2+(8-2)=4+6=10
Остава да решим 10*2=10:2+(10-2)=5+8=13

Стойността на израза (8*2)*2 е: 13

Мерси!

а не е ли = 16 т.е (8*2)

Ами явно не е-това са си определен вид задачи,наречени измислени действия-има ги като вид в Математическата читанка.

Това * което сме писали не е умножение, обикновено измислят символ който е различен, за да няма объркване примерно   8#2   8^2.

Здравейте! Страхотна тема  Поздравления   

Записвам се по препоръка на една съфорумка при вас с молба да ми препоръчате хубави и забавни  помагала за едно момченце на 6 години, което ще бъде предучилищна наесен, но проявява интерес към математиката ( понеже в това отношение явно прилича на майка ми, която е математик, а не на мене. аз съм филолог- германист  ).

Това, което може в момента: да сравнява трицифрени числа и да събира и изважда до 20.

Имаме разни игри за смятане , а и купих двете помагала на изд. Слово за 1. клас.

Здравейте всички. Опитвам се да намеря задачи от минали международни олимпиади за 5-6 клас (например от провелата се това лято IIMC 2011), но за сега не успявам. Ако някой ги има или знае къде да се намерят, моля за съдействие (може и на английски, може и срещу заплащане)!